Cara Mudah Menentukan KPK & FPB, Contoh Soal dan Pembahasan

Dalam artikel sebelumnya, telah dibahas mengenai konsep dan sifat perkalian bilangan bulat. Materi tersebut sangat bermanfaat dalam menentukan kelipatan dan faktor dari suatu bilangan. Kelipatan dan faktor suatu bilangan digunakan untuk menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari suatu bilangan. Lalu tahukah kalian bagaimana cara menentukan KPK dan FPB suatu bilangan? Jika belum tahu, simak penjelasan berikut.

#1 Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif

Di tingkat sekolah dasar, kalian telah mengetahui mengenai kelipatan suatu bilangan. Sekarang, kalian akan mengulang dan memperdalam materi tersebut. Jika k anggota A = 1, 2, 3, … maka kelipatan-kelipatan dari k adalah semua hasil kali k dengan setiap anggota A.

Misalnya, kelipatan 3 sebagai berikut.

1 × 3 = 3

2 × 3 = 6

3 × 3 = 9

4 × 3 = 12

…

Bilangan asli kelipatan 3 dapat ditulis sebagai 3, 6, 9, 12, …

Contoh soal

a. Tentukan semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30

b. Tentukan semua bilangan kelipatan 5 yang kurang dari 30

c. Tentukan semua bilangan asli yang kurang dari 30 dan merupakan kelipatan 2 dan 5.

Penyelesaian:

a. Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 sebagai berikut.

1 × 2 = 2	6 × 2 = 12	11 × 2 = 22
2 × 2 = 4	7 × 2 = 14	12 × 2 =24
3 × 2 = 6	8 × 2 = 16	13 × 2 = 26
4 × 2 = 8	9 × 2 = 18	14 × 2 = 28
5 × 2 = 10	10 × 2 = 20

Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28.

b. Semua bilangan kelipatan 5 yang kurang dari 30 adalah 5, 10, 15, 20, 25

c. Semua bilangan asli yang kurang dari 30 dan merupakan kelipatan 2 dan 5 adalah 10, 20. Bilangan 10 dan 20 ini selanjutnya disebut kelipatan persekutuan dari 2 dan 5 yang kurang dari 30.

#2 Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari Dua Bilangan atau Lebih

Bilangan kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, …

Bilangan kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, …

Bilangan kelipatan 3 dan 4 adalah 12, 24, …

Bilangan terkecil yang merupakan kelipatan persekutuan dari 3 dan 4 adalah 12. Bilangan 12 dalam hal ini disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 3 dan 4. Dengan demikian, dapat kita simpulkan konsep mengenai KPK yaitu sebagai berikut.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari p dan q, dengan p, q anggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecil anggota himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh p dan q.

Contoh soal

a. Tentukan KPK dari 2, 3, dan 4

b. Tentukan KPK dari 2, 4, dan 5

c. Tentukan KPK dari 3, 5, dan 6

Penyelesaian:

a. KPK dari 2, 3, dan 4 dicari dengan cara berikut.

Bilangan asli kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, …

Bilangan asli kelipatan dari 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …

Bilangan asli kelipatan dari 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, …

Dari kelipatan 2, 3 dan 4 di atas, bilangan terkecil yang habis dibagi 2, 3 dan 4 adalah 12. Jadi KPK dari 2, 3 dan 4 adalah 12.

b. KPK dari 2, 4, dan 4 dicari dengan cara berikut.

Bilangan asli kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, …

Bilangan asli kelipatan dari 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, …

Bilangan asli kelipatan dari 5 adalah 5, 10, 15, 20, 25, 30, …

Dari kelipatan 2, 4 dan 5 di atas, bilangan terkecil yang habis dibagi 2, 4 dan 5 adalah 20. Jadi KPK dari 2, 4 dan 5 adalah 20.

c. KPK dari 3, 5, dan 6 dicari dengan cara berikut.

Bilangan asli kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, …

Bilangan asli kelipatan dari 5 adalah 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …

Bilangan asli kelipatan dari 6 adalah 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, …

Dari kelipatan 3, 5 dan 6 di atas, bilangan terkecil yang habis dibagi 3, 5 dan 6 adalah 30. Jadi KPK dari 3, 5 dan 6 adalah 30.

#3 Faktor Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Perhatikan perkalian bilangan berikut.

1 × 8 = 8

2 × 4 = 8

Bilangan 1, 2, 4, dan 8 disebut faktor dari 8. Sekarang perhatikan perkalian berikut.

1 × 2 = 2

1 × 3 = 3

1 × 5 = 5

1 × 7 = 7

Bilangan-bilangan 2, 3, 5 dan 7 masing-masing hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Bilangan-bilangan seperti ini disebut bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Dengan demikian, yang dimaksud dengan faktor adalah sebagai berikut.

Faktor dari suatu bilangan asli k adalah suatu bilangan asli yang apabila dikalikan dengan bilangan asli lain hasilnya sama dengan k.

Contoh soal

a. Tentukan semua faktor dari 25

b. Tentukan semua faktor dari 30

c. Tentukan semua faktor prima dari 45

Penyelesaian:

a. Faktor dari 25 dapat ditentukan dengan cara berikut.

1 × 25 = 25

5 × 5 = 25

Jadi, semu faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25.

b. Faktor dari 30 dapat ditentukan dengan cara berikut.

1 × 30 = 30

2 × 15 = 30

3 × 10 = 30

5 × 6 = 30

Karena 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30 habis membagi 30 dan tidak ada bilangan lain yang habis membagi 30 maka semua faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 dan 30.

c. Ingat kembali cara menentukan faktor prima suatu bilangan dengan pohon faktor. Dengan menggunakan pohon faktor, faktor prima dari 45 adalah sebagai berikut.

Jadi, semua faktor prima dari 45 adalah 3 dan 5.

Dari contoh soal a dan b di atas, diperoleh bahwa:

■ Faktor dari 25 adalah 1, 5 dan 15

■ Faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30

Tampak bahwa 1 dan 5 merupakan faktor dari 25 dan 30. Selanjutnya, 1 dan 5 disebut faktor persekutuan dari 25 dan 30. Karena 5 merupakan faktor terbesar, maka 5 disebut Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari 25 dan 30. Dengan demikian, dapat kita simpulkan sebagai berikut.

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah bilangan asli terbesar yang merupakan faktor persekutuan kedua bilangan tersebut.

Contoh soal

a. Tentukan FPB dari 16 dan 24.

b. Tentukan FPB dari 9, 18, dan 36

Penyelesaian:

a. Untuk menentukan FPB, pertama kita tentukan faktor persekutuan dari bilangan 16 dan 24, yaitu sebagai berikut.

1 × 16 = 16	1 × 24 = 24
2 × 8 = 16	2 × 12 = 24
4 × 4 = 16	3 × 8 = 24
	4 × 6 = 24

Faktor dari 16 = 1, 2, 4, 8, 16

Faktor dari 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Dari faktor 16 dan 24 di atas, bilangan terbesar yang habis membagi 16 dan 24 adalah 8. Jadi FPB dari 16 dan 24 adalah 8.

b. Faktor persekutuan dari bilangan 9, 18 dan 24 adalah sebagai berikut.

1 × 9 = 9	1 × 18 = 18	1 × 24 = 24
3 × 3 = 9	2 × 9 = 18	2 × 12 =24
	3 × 6 = 18	3 × 8 = 24
		4 × 6 = 24

Faktor dari 9 = 1, 3, 9

Faktor dari 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18

Faktor dari 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Dari faktor 9, 18 dan 24 di atas, bilangan terbesar yang habis membagi 9, 18 dan 24 adalah 3. Jadi FPB dari 9, 18 dan 24 adalah 3.

#4 Menentukan KPK dan FPB dari Dua Bilangan atau Lebih dengan Memfaktorkan

Penentuan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dan faktor persekutuan terbesar (FPB) dengan cara mencari kelipatan persekutuan atau faktor untuk bilangan yang nilainya besar merupakan pengerjaan yang sulit. Untuk mempermudah, digunakan cara pemfaktoran bilangan prima atau lebih dikenal dengan faktorisasi prima. Yang dimaksud dengan faktorisasi prima adalah sebagai berikut.

Faktorisasi prima adalah perkalian semua faktor-faktor prima dari suatu bilangan.

Untuk menentukan faktorisasi prima suatu bilangan, kita dapat menggunakan pohon faktor. Misalnya, kita akan menentukan KPK dan FPB dari 36 dan 40 dengan cara pemfaktoran. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

Pertama: kita tentukan faktor prima dari 36 dan 40 dengan pohon faktor

Kedua: dari pohon faktor di atas, faktorisasi prima dari 36 dan 40 adalah sebagai berikut.

36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32

40 = 2 × 2 × 2 × 5 = 23 × 5

Ketiga: tentukan KPK dan FPB dari faktorisasi prima di atas dengan cara berikut.

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 36 dan 40 diperoleh dengan mengalikan semua faktor. Jika ada faktor dengan bilangan pokok yang sama, seperti 22 dan 23, pilih pangkat yang tertinggi yaitu 23.

Jadi, KPK dari 36 dan 40 adalah 23 × 32 × 5 = 360

Adapun faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 36 dan 40 diperoleh dengan mengalikan faktor dengan bilangan pokok yang sama, dengan pangkat terendah.

Jadi, FPB dari 36 dan 40 adalah 22 = 4.

Dari contoh di atas, dapat kita simpulkan sebagai berikut.

■	Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) diperoleh dengan cara mengalikan semua faktor. Jika ada faktor dengan bilangan pokok yang sama, pilih pangkat yang tertinggi.
■	Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) diperoleh dengan cara mengalikan faktor yang sama dengan pangkat terendah.

Contoh soal

a. Tentukan KPK dan FPB dari bilangan 45, 78 dan 100 dengan cara memfaktorkan.

Penyelesaian:

Faktor prima dari 45, 78 dan 100 ditunjukkan pada gambar pohon faktor berikut ini.

Dari pohon faktor di atas, maka faktorisasi prima dari 45, 78 dan 100 adalah sebagai berikut.

45 = 32 × 5

78 = 2 × 3 × 13

100 = 22 × 52

Dengan demikian, KPK dan FPB dari 45, 78 dan 100 adalah sebagai berikut.

KPK = 22 × 32 × 52 × 13 = 11.700.

FPB = 1 (karena tidak ada bilangan pokok yang sama dari faktor 45, 78 dan 100).

b. Tentukan KPK dan FPB dari bilangan 24, 36 dan 72 dengan cara memfaktorkan.

Penyelesaian:

Coba kalian gambarkan sendiri pohon faktor untuk mencari faktor dari prima dari 24, 36 dan 72. Jika kalian menggambarkan dengan benar, maka faktorisasi prima dari 24, 36 dan 72 berdasarkan pohon faktor yang kalian buat adalah sebagai berikut.

24 = 23 × 3

36 = 22 × 32

72 = 23 × 32

Dengan demikian, KPK dan FPB dari 24, 36 dan 72 adalah sebagai berikut.

KPK = 23 × 32 = 72

FPB = 22 × 3 = 12