4 Cara Mudah Menentukan Akar Kuadrat Bilangan Bulat + Contoh Soal dan Pembahasan

Dalam artikel sebelumnya telah dibahas mengenai konsep dan sifat perpangkatan bilangan bulat. Perpangkatan suatu bilangan merupakan bentuk perkalian berulang dari bilangan yang dipangkatkan tersebut. Nah, pada kesempatan kali ini kita akan belajar tentang konsep akar kuadrat suatu bilangan bulat serta cara menentukannya. Sebelum itu, kita bahas sedikit tentang pengertian “kuadrat” berikut ini.

Kuadrat Bilangan Bulat

Kuadrat merupakan bagian dari operasi pemangkatan pada bilangan bulat. Coba kalian perhatikan bentuk operasi perkalian berikut ini.

■ a × a = a2

■ 2 × 2 = 22 = 4

■ x × x = x2

■ 3 × 3 = 32 = 9

Dari bentuk tersebut di atas, terlihat bahwa apabila suatu bilangan dikalikan dengan dirinya sendiri akan menghasilkan kuadrat dari bilangan itu. Jadi, dapat disimpulkan bahwa kuadrat suatu bilangan bulat adalah suatu bilangan yang diperoleh dari hasil perkalian suatu bilangan bulat dengan dirinya sendiri sebanyak 2 kali.

a = √b ⇔ a = b2 untuk a dan b bilangan bulat.

Nilai kuadrat suatu bilangan bulat dapat diperoleh dengan cara menghitung, dengan menggunakan kalkulator, dan dengan menggunakan tabel kuadrat.

Akar Kuadrat Suatu Bilangan Bulat

Kalian telah mengetahui bahwa 52 = 25, artinya bilangan 25 diperoleh dari 5 dipangkatkan 2 atau 5 dikuadratkan. Pertanyaannya adalah bagaimana cara menentukan bilangan 5 dari 25? Caranya adalah dengan melakukan operasi akar kuadrat dari 25 yang dituliskan dengan √25 (dibaca akar kuadrat dari 25 atau akar pangkat dua dari 25). Penulisan 2√xy cukup dituliskan dengan lambang “√xy”. Perhatikan contoh-contoh berikut ini.

42 = 16 ⇔ √16 = 4

62 = 36 ⇔ √36 = 6

72 = 49 ⇔ √49 = 7

92 = 81 ⇔ √81 = 9

Dari contoh-contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa operasi akar kuadrat merupakan kebalikan dari operasi kuadrat. Perhatikan soal berikut.

Diketahui a2 = 25, dalam hal ini nilai a yang memenuhi adalah 5 dan −5, karena 52 = 25 dan (−5)2 = 25. Jika a = √64 maka nilai a = 8, sedangkan −8 bukan merupakan jawaban. Demikian juga dengan:

x2 = 4 maka x = 2 atau x = −2, tetapi √4 = 2

x2 = 36 maka x = 2 atau x = −6, tetapi √36 = 6

Secara umum dapat disimpulkan bahwa:

Akar kuadrat dari bilangan a dengan a ≥ 0 adalah bilangan positif atau nol.

Menentukan Akar Kuadrat Suatu Bilangan

Untuk menentukan nilai akar kuadrat suatu bilangan dapat dilakukan dengan perkiraan pada garis bilangan, menghitung langsung, tabel, dan kalkulator. Berikut ini penjelasan masing-masing cara tersebut.

#1 Dengan perkiraan pada garis bilangan

Himpunan bilangan cacah yang merupakan bilangan kuadrat adalah {0, 1, 4, 9, 16, …}. Dengan menggunakan bilangan-bilangan kuadrat, kita dapat mencari hasil perkiraan akar kuadrat dari bilangan-bilangan tersebut. Misalkan, kita ingin menghitung √11. Perkiraan jawaban kita adalah di antara √9 = 3 dan √16 = 4. Jadi, hasilnya di antara 3 dan 4. Untuk memperoleh perkiraan lebih tepat, kita dapat menggunakan garis bilangan seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut.

Jadi, √11 ≈ 3,29 (sampai dua tempat desimal). Lambang “≈” dibaca: mendekati.

#2 Dengan menghitung langsung

Menentukan nilai akar kuadrat dengan menghitung akar akar akan diperoleh hasil yang sesungguhnya (hasilnya sama dengan perhitungan menggunakan kalkulator). Untuk memahami langkah-langkahnya, perhatikan contoh berikut!

Contoh Soal:

√81.225 = …

Langkah-langkah menghitung nilai akarnya adalah sebagai berikut.

(a) Kelompokkan menjadi dua angka dari belakang dengan penyekat garis atau titik!

√8|12|25 atau √8.12.25

(b) Carilah taksiran rendah untuk √8 (taksiran rendahnya 2)!

(c) Kalikan 2 dengan 2 atau 22, letakkan hasilnya di bawah 8!

		√8|12|25	=	2
2 × 2	=	4

(d) Kurangkan 4 dari 8!

		√8|12|25	=	2
2 × 2	=	4	−
		4

(e) Turunkan dua angka berikutnya!

		√8|12|25	=	2
2 × 2	=	4	−
		4   12

(f) Untuk memperoleh angka kedua, jumlahkan faktor-faktor dari 2 × 2, yaitu 2 + 2 = 4. Kemudian tuliskan hasilnya pada kolom pengerjaan!

		√8|12|25	=	2
2 × 2	=	4	−
		4   12
4y × y	=

(g) Kotak persegi harus diisi dengan bilangan yang sama sedemikian rupa sehingga hasil perkalian dari bilangan yang terbentuk merupakan pendekatan dari 412.

		√8|12|25	=	28
2 × 2	=	4	−
		4   12
48 × 8	=	3   84

(h) Ulangi langkah c, d, e, f, dan g, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

		√8|12|25	=	285
2 × 2	=	4	−
		4   12
48 × 8	=	3   84	−
		28  25
565 × 5	=	28  25	−
		0

Untuk mencari akar kuadrat dari pecahan desimal, langkah-langkahnya sama seperti langkah di atas, kecuali langkah pertama. Pengelompokkan dilakukan mulai dari koma dan penambahan nol di belakang koma dilakukan sesuai permintaan jawaban. Perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal:

√123,567 = … (sampai 2 tempat desimal)

Jawab:

		√1|23|,567	≈	11,11
1 × 1	=	1	−
		23
21 × 1	=	21	−
		2  56		(setelah ini, hasil di belakang koma)
221 × 1	=	2  21	−
		3570		(ingat penurunan dua angka!)
2221 × 1	=	2221	−
		1349

#3 Dengan menggunakan tabel

Perhatikan tabel akar kuadrat bilangan-bilangan mulai dari 1 sampai 99,9 pada akhir artikel ini. untuk bilangan-bilangan di luar itu, kita harus mengalikan atau membagi dengan 100, 10.000, 1.000.000, … agar dapat kita baca pada tabel. Sama seperti kuadrat suatu bilangan, penyelesaian akar kuadrat dari suatu bilangan terbagi dalam tiga kelompok, yaitu sebagai berikut.

(a) Akar kuadrat dari bilangan a yang memenuhi 1 < a < 100

Akar kuadrat dari bilangan-bilangan itu dapat langsung kita baca pada tabel. Perhatikan penggalan tabel akar kuadrat berikut ini.

Dari tabel di atas, terlihat nilai kuadrat berikut:

a. √1,75 = 1,32

b. √47,8 = 6,91

c. √83,2 = 9,12

(b) Akar kuadrat dari bilangan a yang memenuhi a > 100

Untuk mencari akar kuadrat dari bilangan yang lebih dari 100, kita harus mengubah ke bentuk perkalian dengan 100, 10.000, 1.000.000, … agar dapat kita baca pada tabel. Digunakan perkalian 100, 10.000, 1.000.000, … karena akar kuadrat dari 100, 10.000, 1.000.000, … dapat kita peroleh dengan mudah.

Contoh Soal:

a. √925 = √9,25 × 100 = √9,25 × √100 = 3,04 × 10 = 30,4

(lihat √9,25 pada tabel)

b. √9.250 = √92,5 × 100 = √92,5 × √100 = 9,62 × 10 = 96,2

(lihat √92,5 pada tabel)

c. √61.200 = √6,12 × 10.000 = √6,12 × √10.000 = 2,47 × 100 = 247

(lihat √6,12 pada tabel)

(c) Akar kuadrat dari bilangan a yang memenuhi a < 1

Untuk mencari akar kuadrat bilangan-bilangan yang kurang dari 1, kita harus mengubah dulu ke bentuk pembagian dengan 100, 10.000, 1.000.000, …. Hal ini dilakukan agar kita dapat membacanya pada tabel.

Contoh Soal:

a.

√0,671

=

√

67,1/100

=

√67,1/√100

≈

8,19/10

=

0,819

b.

√0,3

=

√

30/100

=

√30/√100

≈

5,48/10

=

0,548

c.

√0,00345

=

√

34,5/10.000

=

√34,5/√10.000

≈

5,87/100

=

0,0587

#4 Dengan kalkulator

Untuk menentukan akar dari suatu bilangan dengan kalkulator, ikutilah petunjuk berikut ini.

1. Hidupkan kalkulator dengan menekan tombol ON atau AC.

2. Tekan tombol bilangan yang akan dicari nilai akar kuadratnya.

3. Tekan tombol “√xy”. Selesai dan hasil akan muncul di layar.

Perhatikan contoh berikut ini.

Contoh Soal:

Tentukanlah √13225 dengan menggunakan kalkulator

Penyelesaian:

ON     1     2     3     4     5      √

Tekan tombol-tombol di atas secara berurutan dari kiri ke kanan, maka pada layar akan keluar atau tertulis 115. Dengan demikian, √13225 = 115.

Tabel Daftar Akar Kuadrat (Pangkat 2)

Daftar Akar Pangkat Dua Bilangan 1,0 – 4,9

Daftar Akar Pangkat Dua Bilangan 5,0 – 9,9