5 Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat + Contoh Soal dan Pembahasan

Ketika masih di Sekolah Dasar (SD), kalian tentunya telah mengenal operasi penjumlahan pada bilangan bulat bukan? Untuk menyelesaikan operasi penjumlahan bilangan bulat dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan menggunakan bantuan garis bilangan dan dengan cara langsung tanpa alat bantu. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh 1:

Dengan menggunakan garis bilangan, hitunglah 6 + (-8)!

Jawab:

Bilangan 6 dan -8 kita gambarkan dalam bentuk anak panah pada garis bilangan seperti yang diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

Untuk menghitung 6 + (-8), langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 6 satuan ke kanan sampai pada angka 6.

(b) Gambarlah anak panah kedua dimulai dari angka 6 sejauh 8 satuan ke kiri.

(c) Gambarlah anak panah ketiga dimulai dari pangkal anak panah pertama menuju ujung anak panah kedua. Nilai yang ditunjuk oleh anak panah ketiga merupakan hasil dari 6 + (-8) = -2.

Contoh 2:

Tanpa menggunakan bantuan garis bilangan, hitunglah penjumlahan bilangan bulat berikut ini.

a) 125 + 234

b) -58 + (-72)

c) 75 + (-90)

d) (-63) + 125

Jawab:

a) 125 + 234 = 359

b) -58 + (-72) = -(58 + 72) = -130

c) 75 + (-90) = -(90 – 75) = -15

d) (-63) + 125 = 125 – 63 = 62

Apabila kalian sudah paham mengenai konsep penjumlahan pada bilangan bulat, kini kita saatnya belajar mengenai sifat-sifat operasi hitung penjumlahan bilangan bulat. Sifat-sifat penjumlahan ini tentu akan mempermudah dalam menghitung hasil penjumlahan bilangan bulat. 


Ada 5 sifat yang berlaku pada operasi penjumlahan bilangan bulat, yaitu tertutup, komutatif, asosiatif, unsur identitas dan invers. Berikut ini penjelasan dan contoh masing-masing sifat tersebut.

1. Sifat Tertutup

Untuk memahami sifat tertutup pada penjumlahan bilangan bulat, perhatikan contoh-contoh di bawah ini.

a) 2 + 9 = 11

■ 2 dan 9 adalah bilangan bulat

■ Hasil penjumlahannya 11 juga merupakan bilangan bulat

b) (-11) + (-9) = -20

■ (-11) dan (-9) adalah bilangan bulat

■ Hasil penjumlahannya -20 juga merupakan bilangan bulat

c) -12 + 25 = 13

■ -12 dan 25 adalah bilangan bulat

■ Hasil penjumlahannya 13 juga merupakan bilangan bulat

Berdasarkan contoh-contoh di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:

Penjumlahan bilangan bulat akan selalu menghasilkan bilangan bulat juga atau dapat ditulis jika a dan b ∈ B, maka a + b ∈ B. Sifat tertutupbilangan bulat dapat dinyatakan sebagai berikut: a + b = c dengan a, b, dan c ∈ B.

2. Sifat Komutatif (Pertukaran)

Untuk memahami sifat komutatif pada penjumlahan bilangan bulat, perhatikan contoh-contoh berikut ini.

a) Penjumlahan bilangan positif dengan positif

5 + 7 = 12

7 + 5 = 12

Jadi, 5 + 7 = 7 + 5

b) Penjumlahan bilangan positif dengan negatif

10 + (-5) = 5

(-5) + 10 = 5

Jadi, 10 + (-5) = (-5) + 10

c) Penjumlahan bilangan negatif dengan negatif

-4 + (-5) = -9

(-5) + (-4) = 9

Jadi, -4 + (-5) = -5 + (-4)

Dari contoh-contoh di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:

Hasil penjumlahan bilangan bulat selalu sama walaupun letak bilangan ditukar. Sifat penjumlahan seperti ini disebut sifat komutatif dan ditulis sebagai berikut: a + b = b + a

3. Sifat Asosiatif (Pengelompokkan)

Untuk memahami sifat asosiatif pada penjumlahan bilangan bulat, perhatikan contoh-contoh di bawah ini.

a) Penjumlahan bilangan positif dengan positif

(5 + 7) + 8 = 12 + 8 = 20

5 + (7 + 8) = 5 + 15 = 20

Jadi, (5 + 7) + 8 = 5 + (7 + 8)

b) Penjumlahan bilangan positif dengan negatif

{7 + (-2)} + 6 = 5 + 6 = 11

7 + {(-2) + 6} = 7 + 4 = 11

Jadi, {7 + (-2)} + 6 = 7 + {(-2) + 6}

c) Penjumlahan bilangan negatif dengan negatif

{-3 + (-6)} + (-5) = -9 + (-5) = -14

-3 + {-6 + (-5)} = -3 + (-11) = -14

Jadi, {-3 + (-6)} + (-5) = -3 + {-6 + (-5)}

Berdasarkan contoh-contoh di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:

Pada operasi penjumlahan bilangan bulat, bilangan-bilangan tersebut dapat dikelompokkan dan ditulis dalam bentuk: (a + b) + c = a + (b + c)

4. Unsur Identitas (Netral)

Untuk memahami unsur identitas pada penjumlahan bilangan bulat, perhatikan contoh-contoh berikut ini.

a) 2 + 0 = 2

b) 5 + 0 = 5

c) -10 + 0 = -10

d) 0 + 3 = 3

Dari contoh-contoh di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:

Bilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas pada penjumlahan. Artinya, untuk sebarang bilangan bulat apabila ditambah 0 (nol), hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Dengan demikian, untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku sifat berikut. a + 0 = 0 + a = a

5. Sifat Invers (Lawan)

Setiap bilangan bulat mempunyai invers atau lawan. Lawan dari suatu bilangan bulat adalah bilangan bulat lain yang letakknya pada garis bilangan berjarak sama dari titik nol, tetapi arahnya berlawanan dengan bilangan bulat semula. Agar lebih jelas, perhatikan gambar garis bilangan bulat berikut ini.

Tampak pada garis bilangan di atas sebagai berikut.

a) Bilangan-bilangan di sebelah kanan dan kiri dari 0, yang berjarak sama terhadap 0 dapat dipasangkan, yaitu:

■ -1 dengan 1

■ -2 dengan 2

■ -3 dengan 3

■ -4 dengan 4

b) Jumlah dua bilangan dalam setiap pasangan hasilnya selalu nol, yaitu:

■ -1 + 1 = 0

■ -2 + 2 = 0

■ -3 + 3 = 0

■ -4 + 4 = 0

Kedua bilangan dalam setiap pasangan itu dikatakan saling berlawanan yaitu:

■ Lawan dari 1 adalah -1 atau lawan dari -1 adalah 1

■ Lawan dari 2 adalah -2 atau lawan dari -2 adalah 2 dan seterusnya.

Dari contoh-contoh di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:

Invers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut. Suatu bilangan dikatakan memiliki invers jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur identitas (0). Untuk sebarang bilangan bulat a, maka: Lawan dari a adalah –a, sedangkan lawan dari –a adalah a Dengan kata lain, untuk setiap bilangan bulat selain nol pasti mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlaku a + (-a) = (-a) + a = 0

Contoh Soal dan Pembahasan

Agar kalian dapat menggunakan sifat-sifat operasi penjumlahan di atas, silahkan pelajari beberapa contoh soal dan penyelesaiannya berikut ini.

Contoh Soal 1

Hitunglah penjumlahan bilangan berikut ini.

a) 42 + 34

b) 28 + (-34)

c) -64 + 33

d) -13 + (-18)

Jawab:

a) 42 + 34 = 76

b) 28 + (-34) = -6

c) -64 + 33 = -31

d) -13 + (-18) = -31

Contoh Soal 2

Dengan menggunakan sifat asosiatif, hitunglah penjumlahan berikut.

a) 27 + 32 + 68

b) 34 + 64 + 34 + 66

c) 373 + 127 + 234 + 166

Jawab:

a) 27 + (32 + 68) = 27 + 100 = 127

b) (34 + 64) + (34 + 66) = 98 + 100 = 198

c) 373 + {127 + (234 + 166)} = 373 + (127 + 400) = 373 + 527 = 900

Contoh Soal 3

Dengan menggunakan sifat asosiatif dan komutatif, hitunglah penjumlahan berikut ini.

a) 73 + 91 + 27

b) 84 + 83 + 16 + 17

c) 124 + 123 + 176 + 177

d) 139 + 164 + 161 + 136

Jawab:

a) 73 + 91 + 27 = (73 + 27) + 91 = 100 + 91= 191

b) 84 + 83 + 16 + 17 = (84 + 16) + ( 83 + 17) = 100 + 100 = 200

c) 124 + 123 + 176 + 177 = (124 + 176) + (123 + 177) = 300 + 300 = 600

d) 139 + 164 + 161 + 136 = (139 + 161) + (164 + 136) = 300 + 300 = 600