Konsep dan 5 Sifat Perpangkatan Bilangan Bulat, Contoh Soal dan Pembahasan

Konsep Perpangkatan Bilangan Bulat

Coba kalian ingat kembali materi di Sekolah Dasar tentang pengertian kuadrat suatu bilangan. Kuadrat atau pangkat dua suatu bilangan adalah mengalikan suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri. Lebih lanjut, perpangkatan suatu bilangan artinya perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Perhatikan perpangkatan bilangan pokok 2 berikut ini.

21	=	2
22	=	2 × 2	(22 dibaca 2 kuadrat atau 2 pangkat 2)
	=	4
23	=	2 × 2 × 2	(23 dibaca 2 pangkat 3)
	=	8
…
2n	=	2 × 2 × 2 × … × 2	(2n dibaca 2 pangkat n)
		n kali

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk sebarang bilangan bulat p dan bilangan bulat positif n, berlaku

pn	=	p × p × p × … × p
		sebanyak n faktor

Dengan p disebut bilangan pokok (basis) dan n disebut pangkat (eksponen). Untuk p ≠ 0 maka p0 = 1 dan p1 = p.

Menghitung Bilangan Bulat Negatif yang Berpangkat Bilangan Bulat Positif

Untuk dapat menemukan konsep dalam menghitung bilangan bulat negatif yang berpangkat bilangan bulat positif, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh:

Hitunglah nilai dari perpangkatan bilangan bulat di bawah ini.

a. (−2)3

b. (−3)4

c. (−4)5

d. (−5)6

Jawab:

a. (−2)3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8 (negatif)

b. (−3)4 = (−3) × (−3) × (−3) × (−3) = 81 (positif)

c. (−4)5 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = −1.024 (negatif)

d. (−5)6 = (−5) × (−5) × (−5) × (−5) × (−5) × (−5) = 15.625 (positif)

Dari hasil perhitungan di atas, maka dapat kita ambil kesimpulan sebagai berikut.

■	Bilangan negatif yang berpangkat bilangan ganjil hasilnya adalah bilangan negatif.
■	Bilangan negatif yang berpangkat bilangan genap hasilnya adalah bilangan positif.

Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat

Operasi hitung bilangan berpangkat memiliki beberapa sifat atau pola khusus yang dapat mempermudah dalam menyelesaikan perhitungannya. Terdapat 5 sifat pokok dalam operasi hitung bilangan berpangkat, yaitu: sifat perkalian bilangan berpangkat, sifat pembagian bilangan berpangkat, sifat perpangkatan bilangan berpangkat, sifat perpangkatan suatu perkalian dan sifat perpangkatan suatu pembagian. Berikut penjelasan lengkapnya.

#1 Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat

Untuk bisa memahami sifat perkalian pada bilangan berpangkat, coba perhatikan contoh berikut ini.

Contoh:

a.	32 × 33	=	(3 × 3) × (3 × 3 × 3)
		=	3 × 3 × 3 × 3 × 3
		=	35
b.	43 × 44	=	(4 × 4 × 4) × (4 × 4 × 4 × 4)
		=	4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4
		=	47
c.	54 × 56	=	(5 × 5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5)
		=	5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5
		=	510

Berdasarkan contoh di atas, maka dapat disimpulkan bahwa hasil kali dua bilangan berpangkat dengan bilangan pokok sama adalah bilangan pokok itu dipangkatkan dengan jumlah pangkat kedua bilangan tersebut. Secara umum dirumuskan sebagai berikut.

am × an = a(m + n)

#2 Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat

Untuk bisa memahami sifat pembagian pada bilangan berpangkat, coba perhatikan contoh berikut ini.

Contoh:

a.	23 : 22	=	23	=	22 × 2	=	2
			22		22
b.	37 : 34	=	37	=	34 × 33	=	33
			34		34
c.	58 : 53	=	58	=	53 × 55	=	55
			53		53

Berdasarkan contoh di atas, dapat kita ambil kesimpulan bahwa hasil bagi dua bilangan berpangkat dengan bilangan pokok sama adalah bilangan pokok itu dipangkatkan dengan selisih pangkat kedua bilangan tersebut. Secara umum, sifat pembagian bilangan berpangkat dituliskan sebagai berikut.

am : an = a(m – n)

#3 Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat

Untuk bisa memahami sifat perpangkatan pada bilangan berpangkat, coba perhatikan contoh berikut ini.

Contoh:

a. (23)2 = 23 × 23 = 2(3 + 3) = 26

b. (35)4 = 35 × 35 × 35 × 35 = 3(5 + 5 + 5 + 5) = 320

c. (43)5 = 43 × 43 × 43 × 43 × 43 = 4(3 + 3 + 3 + 3 + 3) = 415

Berdasarkan tiga contoh tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil pemangkatan suatu bilangan berpangkat adalah bilangan pokok itu dipangkatkan dengan hasil kali pangkat-pangkat tersebut. Secara umum, sifat perpangkatan bilangan berpangkat dirumuskan sebagai berikut.

(am)n = a(m × n)

#4 Sifat Perpangkatan Suatu Perkalian

Untuk bisa memahami sifat perpangkatan suatu perkalian bilangan berpangkat, coba perhatikan contoh berikut ini.

Contoh:

a. (2 × 3)2 = (2 × 3) × (2 × 3) = (2 × 2) × (3 × 3) = 22 × 32

c. (5 × 2)3 = (5 × 2) × (5 × 2) × (5 × 2) = (5 × 5 × 5) × (2 × 2 × 2) = 53 × 23

b. (3 × 5)4 = (3 × 5) × (3 × 5) × (3 × 5) × (3 × 5) = (3 × 3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5 × 5) = 34 × 54

Dari contoh di atas dapat kita simpulkan bahwa hasil perpangkatan dari perkalian bilangan bulat adalah masing-masing bilangan pokok dipangkatkan kemudian dikalikan. Secara umum, sifat perpangkatan pada perkalian suatu bilangan dituliskan sebagai berikut.

(a × b)m = am × bm

#5 Sifat Perpangkatan Suatu Pembagian

Untuk bisa memahami sifat perpangkatan suatu pembagian bilangan berpangkat, coba perhatikan contoh berikut ini.

Contoh:

a.	(2 : 3)2	=	2	×	2	=	22	=	22 : 32
			3		3		32

b.	(5 : 2)3	=	5	×	5	×	5	=	53	=	53 : 23
			2		2		2		23

c.	(3 : 5)4	=	3	×	3	×	3	×	3	=	34	=	34 : 54
			5		5		5		5		54

Dari contoh di atas dapat kita simpulkan bahwa hasil perpangkatan dari pembagian bilangan bulat adalah masing-masing bilangan pokok dipangkatkan kemudian dibagikan. Secara umum, sifat perpangkatan pada pembagian suatu bilangan dituliskan sebagai berikut.

(a : b)m = am : bm

Contoh Soal dan Pembahasan

Agar kalian dapat memahami konsep dan sifat-sifat operasi perpangkatan pada bilangan bulat, silahkan pelajari beberapa contoh soal dan penyelesaiannya berikut ini.

Contoh Soal 1

Tentukanlah hasil dari operasi perpangkatan bilangan bulat berikut ini.

a. 92

b. 113

c. –63

d. (–13)2

e. (–4)3

f. 23 × 24

g. (–5)2 × (–5)3

h. ((–3)2)3

i. (–22)2

j. –(3 × (–5))2

Jawab:

a. 92 = 9 × 9 = 81

b. 113 = 11 × 11 × 11 = 1.331

c. –63 = –(6 × 6 × 6) = –216

d. (–13)2 = (–13) × (–13) = 169

e. (–4)3 = (–4) × (–4) × (–4) = –64

f. 23 × 24 = 23 + 4 = 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

g. (–5)2 × (–5)3 = (–5)2 + 3 = (–5)5 = (–5) × (–5) × (–5) × (–5) × (–5) = –3.125

h. ((–3)2)3 = (–3)2 × 3 = (–3)6 = (–3) × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = 729

i. (–22)2 = –22 × 2 = –24 = –(2 × 2 × 2× 2) = –16

j. –(3 × (–5))2 = –(32 × (–5)2) = –(9 × 25) = –225

Contoh Soal 2

Sederhanakan bentuk pangkat berikut ini.

a. 45 × 43

b. –69 : 64

c. 5 × (–5)4 × 58

d. 89 : 83 : 82

e. x7 : x3 × x6

f. y5 × y8 : y

g. ((–3)5)4

h. ((–2)5 × (–23))2

i. (46 : 43)4

j. (–z3)5 × (–z2)4

Jawab:

a. 45 × 43 = 45 + 3 = 48

b. –69 : 64 = –69 – 4 = –65

c. 5 × (–5)4 × 58 = 51 × 54 × 58 = 51 + 4 + 8 = 513

d. 89 : 83 : 82 = 89 – 3 – 2 = 84

e. x7 : x3 × x6 = x7 – 3 + 6 = x10

f. y5 × y8 : y = y5 + 8 – 1 = y12

g. ((–3)5)4 = (–3)5 × 4 = (–3)20

h. ((–2)5 × (–23))2 = (–2)5 × 2 × (–23 × 2) = (–2)10 × (–210) = –210 + 10 = –220

i. (46 : 43)4 = 46 × 4 : 43 × 4 = 424 : 412 = 424  – 12 = 412

j. (–z3)5 × (–z2)4 = –z3 × 5 × (–z2 × 4) = –z15 × (–z8) = –z15 + 8 = –z23

Contoh Soal 3

Dengan menggunakan sifat perpangkatan suatu pekalian atau pembagian bilangan bulat, sederhanakan bentuk pangkat berikut.

a. (3 × 4)5

b. (6 : 2)4

c. ((–2)2 × 33)2

d. (4 × 2)3 : 34

e. (–4 : 2)2 × 42

Jawab:

a. (3 × 4)5 = (3 × 22)5 = 35 × 210

b. (6 : 2)4 = (2 × 3 : 2)4 = 24 × 34 : 24 = 24 – 4 × 34 = 20 × 34 = 34

c. ((–2)2 × 33)2 = (–2)2 × 2 × 33 × 2 = (–2)4 × 36

d. (4 × 2)3 : 34 = (22 × 2)3 : 34 = 22 × 3 × 23 : 34 = 26 × 23 : 34 = 26 + 3 : 34 = 29 : 34

e. (–4 : 2)2 × 42 = (–22 : 2)2 × (22)2 = (–22)2 : 22 × 24 = (–2)4 : 22 × 24 = 24 : 22 × 24 = 24 – 2 – 4 = 26