7 Sifat Perkalian Bilangan Bulat, Contoh Soal dan Pembahasan

Coba kalian perhatikan Gambar (a). Diketahui terdapat tiga susun buah apel yang masing-masing susunnya terdiri atas dua apel yang saling sejajar. Perhatikan pula Gambar (b). Diketahui terdapat dua susun buah apel yang masing-masing susunnya terdiri atas tiga apel yang saling sejajar. Banyaknya buah apel pada gambar (a) dan (b) masing-masing berjumlah (3 × 2) dan (2 × 3) buah.

3 × 2 dan 2 × 3 merupakan salah satu bentuk operasi bilangan bulat yang disebut perkalian. Pada dasarnya, operasi perkalian bilangan bulat dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan berulang. Perhatikan contoh berikut.

3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6

2 × 3 = 3 + 3 = 6

Meskipun hasilnya sama, perkalian 3 × 2 dan 2 × 3 berbeda artinya. Secara umum, bentuk dari perkalian bilangan bulat dapat dituliskan sebagai berikut.

Apabila kalian sudah paham mengenai perkalian bilangan bulat adalah bentuk dari penjumlahan berulang, kini saat kita belajar mengenai konsep perkalian bilangan bulat serta sifat-sifatnya. Konsep yang dimaksud adalah perkalian antara bilangan bulat positif dengan positif, positif dengan negatif dan negatif dengan negatif. Silahkan perhatikan penjelasan berikut ini.

Konsep Pekalian Bilangan Bulat

Untuk memahami konsep perkalian bilangan bulat, coba kalian perhatikan tabel perkalian dengan pola yang berbeda berikut ini.

×	3	2	1	0	−1	−2	−3
3	9	6	3	0	−3	−6	−9
2	6	4	2	0	−2	−4	−6
1	3	2	1	0	−1	−2	−3
0	0	0	0	0	0	0	0
−1	−3	−2	−1	0	1	2	3
−2	−6	−4	−2	0	2	4	6
−3	−9	−6	−3	0	3	−6	−9

Dari data pada tabel di atas, tampak bahwa:

■ Hasil kali dua bilangan bulat postif adalah bilangan bulat positif.

Contoh:

3 × 3 = 9

2 × 3 = 6

1 × 3 = 3

■ Hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif.

Contoh:

3 × (−3) = −9

2 × (−1) = −2

(−2) × 3 = −6

(−3) × 1 = −3

■ Hasil kali dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.

Contoh:

(−2) × (−2) = 4

(−3) × (−2) = 6

(−1) × (−3) = 3

Kesimpulan:

■	Hasil kali dua bilangan bulat yang bertanda sama selalu positif. (+) × (+) = (+) dan (−) × (−) = (+)
■	Hasil kali dua bilangan bulat yang berbeda tanda selalu negatif. (+) × (−) = (−) dan (−) × (+) = (−)

Sifat-Sifat Perkalian Bilangan Bulat

Sifat-sifat perkalian bilangan bulat antara lain tertutup, komutatif, identitas/netral, perkalian dengan nol, asosiatif, distributif perkalian terhadap penjumlahan dan distributif perkalian terhadap pengurangan. Berikut ini adalah penjelasan dan contoh masing-masing sifat tersebut.

#1 Bersifat Tertutup

Untuk dapat memahami sifat tertutup pada perkalian bilangan bulat, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh:

● 2 × 5 = 10

2 dan 5 merupakan bilangan bulat, hasil kalinya yaitu 10 juga merupakan bilangan bulat.

● −5 × 7 = −35

−5 dan 7 adalah bilangan bulat, hasilnya −35 juga merupakan bilangan bulat.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa perkalian dua buah bilangan bulat atau lebih bersifat tertutup dan dirumuskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, jika a × b = c, maka c juga merupakan bilangan bulat.

#2 Sifat Komutatif (Pertukaran)

Untuk memahami sifat komutatif atau pertukaran pada perkalian bilangan bulat, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh:

● 3 × (−7) = −21

● −7 × 3 = −21

Dengan demikian, 3 × (−7) = −7 × 3 = −21 sehingga pada perkalian bilangan bulat selalu berlaku sifat komutatif. Secara umum dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a × b = b × a.

#3 Unsur Identitas (Netral)

Apa itu unsur identitas pada perkalian bilangan bulat? Perhatikan contoh di bawah ini.

Contoh:

● 10 × 1 =10

● 5 × 1 =5

● −5 × 1 = −5

● −3 × 1 = −3

Dari contoh-contoh operasi perkalian di atas, maka dapat kita simpulkan bahwa semua bilangan bulat kecuali nol (0) bila dikalikan dengan 1 atau sebaliknya, akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Dalam hal ini 1 disebut unsur identitas pada perkalian. Secara umum dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a , selalu berlaku a × 1 = 1 × a = a.

#4 Perkalian dengan Nol

Perhatikan contoh operasi hitung perkalian bilangan bulat positif dan negatif dengan nol berikut ini.

Contoh:

● 5 × 0 = 0

● −3 × 0 = 0

● 0 × 2 = 0

● 0 × (−4) = 0

Jadi, untuk semua bilangan bulat positif dan negatif apabila dikalikan dengan nol (0) hasilnya adalah nol. Secara umum dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a , selalu berlaku a × 0 = 0 × a = 0.

#5 Sifat Asosiatif (Pengelompokkan)

Untuk memahami sifat asosiatif pada perkalian bilangan bulat, coba kalian perhatikan beberapa contoh berikut ini.

● {6 × (−5)} × (−2) = −30 × (−2) = 60

● 6 × {−5 × (−2)} = 6 × 10 = 60

Jadi, {6 × (−5)} × (−2) = 6 × {−5 × (−2)} = 60. Berdasarkan contoh ini maka dapat kita ambil kesimpulan sebagai berikut.

Untuk bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (a × b) × c = a (b × c).

#6 Sifat Distributif Perkalian terhadap Penjumlahan

Contoh:

Perhatikan tabel berikut!

a	b	c	b + c	a × (b + c)	a × b	a × c	(a × b) + (a × c)
−2	2	−3	−1	2	−4	6	2
3	−2	4	2	6	−6	12	6

Dari tabel di atas, apa yang dapat kalian simpulkan? Hasil yang diperoleh pada kolom 5 dan 8 pada tabel tersebut menunjukkan bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan. Secara umum sifat distributif ini dituliskan sebagai berikut.

Untuk bilangan bulat a, b, dan c berlaku a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

#7 Sifat Distributif Perkalian terhadap Pengurangan

Contoh:

Perhatikan tabel berikut!

a	b	c	b − c	a × (b − c)	a × b	a × c	(a × b) − (a × c)
−2	2	−3	5	−10	−4	6	−10
3	−2	4	−6	−18	−6	12	−18

Dari tabel di atas, apa yang dapat kalian simpulkan? Hasil yang diperoleh pada kolom 5 dan 8 pada tabel di atas menunjukkan bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap pengurangan atau selisih. Secara umum sifat distributif ini dituliskan sebagai berikut.

Untuk bilangan bulat a, b, dan c berlaku a × (b − c) = (a × b) − (a × c).

Contoh Soal dan Pembahasan

Agar kalian dapat memahami konsep dan sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan bulat, silahkan pelajari beberapa contoh soal dan penyelesaiannya berikut ini.

Contoh Soal #1

Tulislah arti perkalian berikut, kemudian selesaikan.

a. 8 × 4

b. 2 × (–3)

c. 3 × p

d. 4 × (–p)

e. 4 × 8

f. 5 × (–2p)

Jawab:

a. 8 × 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 32

b. 2 × (–3) = (–3) + (–3) = –6

c. 3 × p = p + p + p = 3p

d. 4 × (–p) = (–p) + (–p) + (–p) + (–p) = –4p

e. 4 × 8 = 8 + 8 + 8 + 8 = 32

f. 5 × (–2p) = (–2p) + (–2p) + (–2p) + (–2p) + (–2p) = –10p

Contoh Soal #2

Hitunglah hasil perkalian berikut.

a. 7 × (–18)

b. (–12) × (–15)

c. (–16) × 9

d. 25 × 0

e. (–24) × (–11)

f. 35 × (–7)

Jawab:

a. 7 × (–18) = –126

b. (–12) × (–15) = 180

c. (–16) × 9 = –144

d. 25 × 0 = 0

e. (–24) × (–11) = 264

f. 35 × (–7) = –245

Contoh Soal #3

Dengan menggunakan sifat asosiatif dan komutatif, hitunglah hasil dari operasi perkalian berikut ini.

a. 25 × 16 × (–4)

b. 48 × 25 × 4 × (–20)

c. 24 × 15 × (–24) × (–85)

d. (–124) × 125 × (–8) × 20

Jawab:

a. 25 × 16 × (–4) = {25 × (–4)} × 16 = 100 × 16 = 160

b. 48 × 25 × 4 × (–20) = (25 × 4) × {48 × (–20)} = 100 × (–960) = –96.000

c. 24 × 15 × (–24) × (–85) = (24 × 15) × {–24 × (–85)} = 360 × 2040 = 734.400

d. (–124) × 125 × (–8) × 20 = {125 × (–8)} × (–124 × 20) = –1.000 × (–2480) = 2.480.000

Contoh Soal #4

Hitunglah perkalian bilangan berikut dengan menggunakan sifat distributif.

a. 32 × 6 + 32 × 14

b. 36 × 14 + 36 × 24 + 36 × 62

c. 48 × 25 + 25 × 52 + 25 × 52

d. 62 × 15 + 62 × 12 + (–62) × (–73)

Jawab:

a. 32 × 6 + 32 × 14 = 32 × (6 + 14) = 32 × 20 = 640

b. 36 × 14 + 36 × 24 + 36 × 62 = 36 × (14 + 24 + 62) = 36 × 100 = 3.600

c. 48 × 25 + 25 × 52 + 25 × 52 = 25 × (48 + 52 + 52) = 25 × 152 = 3.800

d. 62 × 15 + 62 × 12 + (–62) × (–73) = 62 × {15 + 12 – (– 73)} = 62 × 100 = 6.200