6 Sifat Operasi Pengurangan Bilangan Bulat, Contoh Soal dan Pembahasan

Sewaktu kalian masih duduk di bangku Sekolah Dasar (SD), tentu kalian sudah mengenal operasi pengurangan bilangan bulat bukan? Untuk menyelesaikan operasi pengurangan bilangan bulat dapat dilakukan dengan beberapa cara, salah satunya adalah dengan menyusun ke bawah seperti pada contoh di bawah ini.

15
6	−
9

Selain itu, sama halnya dengan penjumlahan bilangan bulat, pada pengurangan bilangan bulat juga dapat diselesaikan dengan menggunakan bantuan garis bilangan dan juga secara langsung tanpa alat bantu. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 1:

Dengan menggunakan garis bilangan, hitunglah -5 – 2!

Jawab:

Bilangan -5 dan 2 kita gambarkan dalam bentuk anak panah pada garis bilangan seperti yang diperlihatkan gambar berikut ini.

Untuk menghitung -5 – 2, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 5 satuan ke kiri sampai pada angka -5.

(b) Gambarlah anak panah kedua dimulai dari angka -5 sejauh 2 satuan ke kiri sampai pada angka -7.

(c) Gambarlah anak panah ketiga dimulai dari pangkal anak panah pertama menuju ujung anak panah kedua. Nilai yang ditunjuk oleh anak panah ketiga merupakan hasil dari  -5 – 2 = -7.

Contoh 2:

Tanpa menggunakan bantuan garis bilangan, hitunglah pengurangan bilangan bulat berikut ini.

a) 34 – 13

b) -76 – 45

c) 34 – (-59)

d) -148 + (-101)

e) -36 + 32

f) -18 – (-57)

Jawab:

a) 34 – 13 = 34 + (–13) = 21

b) -76 – 45 = -76 + (-45) = -121

c) 34 – (-59) = 34 + 59 = 93

d) -148 + (-101) = -249

e) -36 + 32 = -4

f) -18 – (-57) = -18 + 57 = 39

Sifat-Sifat Pengurangan Bilangan Bulat

Apabila kalian sudah paham mengenai konsep pengurangan bilangan bulat baik dengan garis bilangan maupun tanpa alat bantu, kini saatnya kita mengenal sifat-sifat operasi hitung pengurangan bilangan bulat. Ada 6 sifat yang berlaku pada operasi pengurangan bilangan bulat, yaitu tertutup, lawan suatu bilangan, bentuk penjumlahan dengan lawan pengurangnya, tanda kurung sebagai prioritas, tidak komutatif, dan tidak asosiatif. Berikut ini penjelasan dan contoh masing-masing sifat tersebut.

#1 Tertutup

Untuk memahami sifat tertutup pada pengurangan bilangan bulat, perhatikan contoh-contoh di bawah ini.

a) 9 – 2 = 7

■ 9 dan 2 adalah bilangan bulat

■ Hasil penjumlahannya 7 juga merupakan bilangan bulat

b) (-11) – (-9) = -2

■ (-11) dan (-9) adalah bilangan bulat

■ Hasil penjumlahannya -2 juga merupakan bilangan bulat

c) -12 – 25 = -37

■ -12 dan 25 adalah bilangan bulat

■ Hasil penjumlahannya -37 juga merupakan bilangan bulat

Berdasarkan contoh-contoh di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:

Pengurangan bilangan bulat akan selalu menghasilkan bilangan bulat juga atau dapat ditulis jika a dan b ∈ B, maka a − b ∈ B. Sifat tertutupbilangan bulat dapat dinyatakan sebagai berikut: a − b = c dengan a, b, dan c ∈ B.

#2 Lawan suatu bilangan

Jika kalian perhatikan, ternyata himpunan bilangan bulat terdiri atas bilangan-bilangan yang berpasang-pasangan (seperti 4 dan –4, 2 dan –2, dan lain sebagainya). Bilangan –4 dikatakan lawan dari 4 dan bilangan 4 pun merupakan lawan dari –4. Secara umum jika a adalah suatu bilangan bulat maka –a merupakan lawan dari bilangan a. Jarak a dan –a dari titik 0 adalah sama namun arahnya berbeda.

Dari keterangan di atas dapat disimpulkan bahwa jika a adalah bilangan positif, maka –a adalah bilangan negatif. Jika b adalah bilangan negatif maka –b adalah bilangan positif. Perhatikan penjelasan berikut ini.

Jika a = 5 (bilangan positif) maka –a = –5 (bilangan negatif).

Jika b = –8 (bilangan negatif) maka –b = –(–8) = 8 (bilangan positif).

Contoh:

a) 2 – (–3) = 2 + 3 = 5

b) –2 – (–3) = –2 + 3 = 1

c) –2 – 3 = –5

Berdasarkan contoh-contoh di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:

Untuk setiap a dan b bilangan bulat, berlaku: 1) a − (−b) = a + b 2) −a − (−b) = −a + b

#3 Pengurangan sebagai Bentuk Penjumlahan dengan Lawan Pengurangnya

Untuk memahami sifat pengurangan sebagai bentuk penjumlahan dengan lawan pengurangnya, perhatikan contoh-contoh di bawah ini.

a) 8 – 5 = 8 + (-5) = 3

b) -1 – 4 = -1 + (-4) = -5

Berdasarkan contoh-contoh di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:

Untuk setiap a dan b bilangan bulat, berlaku: 1) a − b = a + (−b) 2) −a − b = −a + (−b)

#4 Tanda Kurung sebagai Prioritas

Kita telah mempelajari operasi penjumlahan dan pengurangan secara terpisah pada artikel-artikel sebelumnya. Apabila kedua operasi tersebut digabungkan, bagaimana cara mengerjakannya? Perhatikan contoh berikut.

Contoh:

Lakukan operasi pengurangan 27 – 12 terlebih dahulu, sehingga mendapatkan hasil 15. Selanjutnya hasil 15 dijumlahkan dengan bilangan berikutnya (yaitu 52) dan mendapatkan hasil 67. Kemudian hasil 67 dikurangi dengan bilangan berikutnya (yaitu 42) mendapatkan hasil 25. Dengan demikian, hasil akhir operasi perhitungan di atas adalah 25. Dari contoh ini, dapatkah kamu mengambil sebuah kesimpulan?

Jika pada operasi gabungan penjumlahan dan pengurangan terdapat tanda kurung, pengerjaan operasi penjumlahan dan pengurangan itu tetap dikerjakan dari kiri ke kanan dan operasi di dalam tanda kurung dikerjakan terlebih dahulu.

Contoh:

Berdasarkan contoh-contoh di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:

Jika pada operasi gabungan antara penjumlahan dan pengurangan terdapat tanda kurung, maka operasi di dalam tanda kurung harus dikerjakan terlebih dahulu.

#5 Anti Komutatif

Untuk memahami sifat anti komutatif pada pengurangan bilangan bulat, perhatikan contoh-contoh berikut ini.

a) Pengurangan bilangan positif dengan positif

5 – 7 = -2

7 – 5 = 2

Jadi, 5 – 7 ≠ 7 – 5

b) Pengurangan bilangan positif dengan negatif

10 – (-5) = 15

(-5) – 10 = -15

Jadi, 10 – (-5) ≠ (-5) – 10

c) Pengurangan bilangan negatif dengan negatif

-4 – (-5) = 1

(-5) – (-4) = -1

Jadi, -4 – (-5) ≠ -5 – (-4)

Dari contoh-contoh di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:

Hasil pengurangan bilangan bulat yang berbeda tidak pernah sama ketika letak bilangan ditukar. Sifat pengurangan seperti ini disebut sifat anti komutatif dan ditulis sebagai berikut: a + b ≠ b + a

#6 Anti Asosiatif

Untuk memahami sifat anti asosiatif pada pengurangan bilangan bulat, perhatikan contoh-contoh di bawah ini.

a) Pengurangan bilangan positif dengan positif

(5 – 7) – 8 = -2 – 8 = -10

5 – (7 – 8) = 5 – (-1) = 6

Jadi, (5 – 7) – 8 ≠ 5 – (7 – 8)

b) Pengurangan bilangan positif dengan negatif

{7 – (-2)} – 6 = 9 – 6 = 5

7 – {(-2) – 6} = 7 – (-8) = 15

Jadi, {7 – (-2)} – 6 ≠ 7 – {(-2) – 6}

c) Pengurangan bilangan negatif dengan negatif

{-3 – (-6)} – (-5) = 3 – (-5) = 8

-3 – {-6 – (-5)} = -3 – (-1) = -2

Jadi, {-3 – (-6)} – (-5) ≠ -3 – {-6 – (-5)}

Berdasarkan contoh-contoh di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:

Pada operasi pengurangan bilangan bulat, bilangan-bilangan tersebut tidak dapat dikelompokkan secara manual (kecuali sudah ketentual soal) dan ditulis dalam bentuk: (a + b) + c ≠ a + (b + c)

Contoh Soal dan Pembahasan

Agar kalian dapat menggunakan sifat-sifat operasi pengurangan di atas, silahkan pelajari beberapa contoh soal dan penyelesaiannya berikut ini.

Contoh Soal #1

Hitunglah pengurangan bilangan berikut ini.

a) 152 – 25

b) 163 – 47

c) 127 – 32 – 14

d) 264 – 38 – 29

Jawab:

a) 152 – 25 = 127

b) 163 – 47 = 116

c) 127 – 32 – 14 = 95 – 14 = 81

d) 264 – 38 – 29 = 226 – 29 = 197

Contoh Soal #2

Jika 10 – 7 = 3 maka 3 + 7 = 10

Kerjakan soal di bawah ini seperti contoh di atas.

a) Jika 5 – 4 = … maka … + 4 = 5

b) Jika 7 – (-3) = … maka … + (-3) = 7

c) Jika -5 – (-4) = … maka …

d) Jika -15 – 8 = … maka …

e) Jika -13 – 10 = … maka …

Jawab:

a) Jika 5 – 4 = 1 maka 1 + 4 = 5

b) Jika 7 – (-3) = 10 maka 10 + (-3) = 7

c) Jika -5 – (-4) = -1 maka -1 + (-4) = -5

d) Jika -15 – 8 = -23 maka -23 + (8) = -15

e) Jika -13 – 10 = -23 maka -23 + (10) = 13

Contoh Soal #3

Hitunglah soal-soal berikut ini.

a) (–20) – (–80)

b) (–4) – (–14) – (–20)

c) 32 + [42 – (42 – 36)]

d) 164 – [69 – (54 – 32 – (24 – 16)]

Jawab:

a) (–20) – (–80) = -20 + 80 = 60

b) (–4) – (–14) – (–20) = (-4 + 14) + 20 = 10 + 20 = 30

c) 32 + [42 – (42 – 36)] = 23 + (42 – 6) = 23 + 36 =59

d) 164 – [69 – (54 – 32 – (24 – 16)] = 164 – [69 – (54 – 32 – 8)] = 164 – (69 – 14) = 164 – 55 = 109

Contoh Soal #4

Ubahlah soal pengurangan berikut ke bentuk penjumlahan dengan lawan penjumlahannya, kemudian hitunglah.

a) 8 – 9

b) -9 – 3

c) -3 – (-5)

d) 7 – (-6)

e) 5 – (-2) – (-4)

f) -6 – 5 – (-4)

Jawab:

a) 8 – 9

Lawan dari 9 adalah -9 sehingga bentuk 8 – 9  dapat diubah menjadi

8 + (-9) = -1

b) -9 – 3

Lawan dari 3 adalah -3 sehingga bentuk -9 – 3 dapat diubah menjadi

-9 + (-3) = -12

c) -3 – (-5)

Lawan dari -5 adalah 5 sehingga bentuk -3 – (-5) dapat diubah menjadi

-3 + 5 = 2

d) 7 – (-6)

Lawan dari -6 adalah 6 sehingga bentuk 7 – (-6) dapat diubah menjadi

7 + 6 = 13

e) 5 – (-2) – (-4)

Lawan dari -2 dan -4 adalah 2 dan 4, sehingga bentuk 5 – (-2) – (-4) dapat diubah menjadi

5 + 2 + 4 = 7 + 4 = 11

f) -6 – 5 – (-4)

Lawan dari 5 dan -4 adalah -5 dan 4, sehingga bentuk -6 – 5 – (-4) dapat diubah menjadi

-6 + (-5) + 4 = -11 + 4 = -7

Soal Latihan

Cobalah kalian kerjakan soal di bawah ini secara mandiri.

Diketahui a = -3; b = 2; dan c = -5. Hitunglah hasil dari

a) a + b + c

b) a + b – c

c) a – b + c

d) –a + b + c

e) –a – b – c

f) –a + b – c

Kunci Jawaban:

a) -6

b) 4

c) -10

d) 0

e) 6

f) 10