Bilangan Pangkat Pecahan: Definisi, Rumus, Sifat Operasi Hitung, Contoh Soal dan Pembahasan

Bilangan berpangkat adalah bentuk perkalian bilangan-bilangan yang sama atau perkalian berulang yang dibagi menjadi 2 macam yaitu pangkat bulat positif dan pangkat bulat negatif. Notasi bilangan berpangkat adalah an yang berarti perkalian bilangan a secara berulang sebanyak n. Misalkan 72 = 7 x 7. Nah sekarang yang menjadi pertanyaannya adalah bagaimana dengan bentuk 71/2? Apa artinya dan Bagaimana cara penyelesaiannya?

Bentuk 71/2 adalah bentuk bilangan berpangkat pecahan. Lalu apa itu bilangan berpangkat pecahan? Untuk menjawab pertanyaan tersebut silahkan simak penjelasan mengenai pengertian, rumus, contoh soal dan pembahasan mengenai bilangan pangkat pecahan berikut ini.

Pengertian Bilangan Berpangkat Pecahan

Pangkat pecahan ini berhubungan dengan operasi bentuk akar. Kita tahu bahwa pecahan adalah suatu bentuk bilangan yang dituliskan sebagaim/n dengan m, n ∈ bilangan bulat dan n ≠ 0. Dan bentuk bilangan berpangkat pecahan secara umum dapat ditulis sebagai am/n dengan a ∈bilangan real dan a ≠ 0. Untuk bisa mendefinisikan konsep pangkat pecahan, perhatikan contoh berikut ini

Permisalan 1

Misalkan terdapat persamaan 25a = 5, maka nilai a dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

25a	= 5
(52)a	= 51
52a	= 51
2a	= 1
a	= 1/2

Dari penyelesaian di atas maka 251/2 = 5, karena √25 = 5 dapat disimpulkan bahwa √25 = 251/2.

Permisalan 2

Misalkan terdapat persamaan 343b = 7, maka nilai b dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

343b	= 7
(73)b	= 71
73b	= 71
3b	= 1
b	= 1/3

Dari penyelesaian di atas maka 3431/3 = 7, karena 3√343 = 7 dapat disimpulkan bahwa 3√343 = 3431/3.

Dari 2 permisalan di atas, definisi dari pangkat pecahan dapat dituliskan sebagai berikut:

am/n  = n√am dengan n > 2 dan n√a ≠ 0

Dari definisi tersebut, dapat kita lihat bagaimana hubungan antara pangkat pecahan dengan operasi bentuk akar. Pembilang pada pangkat pecahan merupakan pangkat dari bilangan yang diakarkan, sedangkan penyebut pada pangkat pecahan merupakan nilai pangkat akar.

Rumus Operasi Hitung Bilangan Pangkat Pecahan

A. Menentukan Hasil Bilangan Berpangkat Pecahan

Untuk mempermudah dalam menghitung hasil bilangan berpangkat pecahan ada dua cara yang bisa digunakan, yaitu:

1. Mengubah Pangkat Pecahan Menjadi Operasi Akar

Untuk mengubah bilangan berpangkat pecahan menjadi operasi bentuk akar, kita bisa menggunakan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat yaitu dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

am/n  = a(1/n) m = (a1/n)m = (n√a)m

Contoh:

1252/3 = 125(1/3) x 2 = (1251/3)2 = (3√125)2 = 52 = 25

2. Mengubah Bilangan Pokok Menjadi Bilangan yang Berpangkat Sama dengan Penyebut Pangkat Pecahan

Dengan cara ini, bilangan berpangkat pecahan tidak perlu diubah menjadi operasi bentuk akar. Hasil pangkat pecahan bisa diperoleh hanya dengan operasi pangkat bilangan bulat biasa. Adapun rumus yang digunakan dalam cara ini yaitu:

am/n  = (bn)m/ n = bm dengan bn = a

Contoh:

1252/3 = 53 x (2/3)  = 52 = 25

B. Sifat Operasi Hitung pada Bilangan-Bilangan Berpangkat Pecahan

Dengan menerapkan sifat-sifat bilangan berpangkat, kita dapat menentukan hasil operasi hitung pada bilangan-bilangan berpangkat pecahan. Sifat operasi hitung pada bilangan perpangkat pecahan yaitu sebagai berikut:

1. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat Pecahan

Pada operasi perkalian bilangan berpangkat pecahan berlaku sifat sebagai berikut:

ap/q x ar/s = a(p/q + r/s)

2. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat Pecahan

Pada operasi pembagian bilangan berpangkat pecahan berlaku sifat sebagai berikut:

ap/q : ar/s = a(p/q - r/s)

3. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat Pecahan        

Jika bilangan berpangkat pecahan dipangkatkan lagi baik dengan pangkat bilangan bulat maupun pangkat pecahan berlaku sifat berikut ini:

(ap/q)r = a(p/q) x r = a(pr/q) atau

(ap/q)r/s = a(p/q x r/s) = a(pr/qs)

4. Sifat Perpangkatan pada Perkalian Bilangan Berpangkat Pecahan

Sifat perpangkatan pada perkalian bilangan berpangkat pecahan adalah sebagai berikut:

(a x b)p/q = ap/q x bp/q

5. Sifat Perpangkatan pada Pembagian Bilangan Berpangkat Pecahan

Sifat perpangkatan pada pembagian bilangan berpangkat pecahan adalah sebagai berikut:

(a : b)p/q = ap/q : bp/q

C. Mengubah Pangkat Pecahan Negatif Menjadi Pangkat Pecahan Positif atau sebaliknya

Untuk mengubah suatu bilangan berpangkat pecahan negatif menjadi bilangan berpangkat positif atau sebaliknya, kita dapat menggunakan rumus sebagai berikut:

a-(m/n) = 1/a(m/n) atau

a(m/n) = 1/a-(m/n)

Contoh Soal Bilangan Bepangkat Pecahan dan Pembahasannya

Contoh Soal 1

Selesaikan beberapa bilangan berpangkat pecahan berikut menjadi bentuk akar:

a) 51/2

b) 63/2

c) 127/2

Penyelesaian:

a) 51/2 = √5

b) 63/2 = √63

c) 127/2 = √127

Contoh Soal 2

Sederhanakanlah bentuk bentuk pecahan di bawah ini:

a) 65/2 x 6 3/2

b) 31/2 x 31/2

c) (45/2)3/5

Penyelesaian:

a) 65/2 x 6 3/2 = 6(5/2)+(3/2) = 68/2 =64 = 1296

b) 31/2 x 31/2 = 3(1/2)+(1/2) = 31 = 3

c) (45/2)3/5 = 4(5/2 x 3/5) = 415/10 = 43/2

Contoh Soal 3

Sederhanakan, dan nyatakan hasilnya dengan memakai tanda akar.

a) a1/2 x a1/3

b) a1/3 x (a2/3 + a-1/3)

Penyelesaian:

a) a1/2 x a1/3 = a(1/2 + 1/3) = a(3/6 + 2/6) = a5/6

b) a1/3 x (a2/3 + a-1/3) = (a1/3 x a2/3) + (a1/3 x a-1/3)

= a(1/3 + 2/3) + a(1/3 - 1/3)

= a3/3 + a0

= a1 + 1

= a +1

Contoh Soal 4

Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini dengan pangkat positif, kemudian dengan tanda akar.

a) 2-1/2

b) y-4/3

Penyelesaian:

a) 2-1/2 = 1/21/2 = 1/2√2

b) y -4/3 = 1/y4/3

= 1/3√y4

= (1/3√y3) x (1/3√y1)

= (1/y) x (1/3√y)

= 1/(y 3√y)

Contoh Soal 5

Hitunglah!

(1/2√2) x (3√4) x {4√(1/8)} x {6√(1/2)}

Penyelesaian:

= (2-1/2) x (41/3) x {(11/4/81/4)} x {(11/6/21/6)}

= (2-1/2) x {(22)1/3} x (8-1/4) x (2-1/6)

= (2-1/2) x (22/3) x {(23)-1/4} x (2-1/6)

= (2-1/2) x (22/3) x (2-3/4) x (2-1/6)

= 2(-1/2 + 2/3 – 3/4 – 1/6)

=2-9/12 = 2-3/4 =1/ 4√23 = 1/ 4√8