Bentuk Akar: Pengertian, Rumus, Cara Penyederhanaan, Operasi Hitung, Contoh Soal dan Pembahasan

Pengertian Bentuk Akar

Tentunya kalian sudah paham bahwa bentuk pangkat merupakan perkalian bilangan-bilangan yang sama atau bentuk perkalian berulang. Nah kalau bentuk akar merupakan kebalikan dari bentuk perkalian tersebut. Secara matematis, bentuk akan didefinisikan sebagai berikut.

Bentuk Akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya bilangan irasional.

Bilangan rasional merupanan suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam betuk a/b (pecahan) dimana a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Contohnya bilangan 3 dapat dinyatakan dalam bentuk 6/2, 9/3, 18/6 dan sebagainya.

Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat dapat diubah dalam bentuk pecahan a/b dengan a dan b adalah bilangan bulat. Contohnya adalah nilai dari π = 3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510…, karena tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan maka nilai dari π termasuk bilangan irasional.

Berdasarkan definisi tentang akar, sekarang timbul suatu pertanyaan, apakah dengan adanya tanda √xy pada sebuah bilangan akan menjamin bahwa bilangan itu merupakan bentuk akar? Jawabannya adalah tidak. Karena ada bilangan yang dituliskan dengan tanda akar, tetapi hasilnya merupakan bilangan rasional.

Contoh:

■ √9 bukan merupakan bentuk akar, sebab √9 = 3 (bilangan rasional)

■ √0,25 bukan merupakan bentuk akar, sebab √0,25  = 0,5 (bilangan rasional)

■ √9 merupakan bentuk akar

Contoh Soal Bentuk Akar

Diantara bilangan-bilangan berikut ini, manakah yang termasuk bentuk akar? Jika termasuk bentuk akar, berikan alasannya.

● √7

Jawab: √7merupakan bentuk akar.

● √1/16

Jawab: √1/16 bukan bentuk akar sebab √1/16 = 1/4 (bilangan rasional).

● 3√27

Jawab: 3√27 bukan bentuk akar sebab 3√27 = 3 (bilangan rasional).

● √53

Jawab: √53 merupakan bentuk akar.

● 3√0,125

Jawab:  3√0,125 bukan merupakan bentuk akar sebab 3√0,125 = 0,5 (bilangan rasional).

● 5√49

Jawab: 5√49 merupakan bentuk akar

Cara Menyederhanakan Bentuk Akar

Beberapa bentuk akar dapat disajikan dalam bentuk yang lebih sederhana. Untuk setiap a dan b bilangan bulat positif, maka berlaku rumus atau persamaan berikut:

Dengan a atau b harus dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni.

Contoh:

■ √108 = √36 × √3 = 6 √3

■ √1/8 = √(1/16 × 2) = √1/16 × √2 = 1/4 √2

Contoh Soal Cara Menyederhanakan Bentuk Akar

Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini dalam bentuk akar yang paling sederhana

● √27

Jawab: √27 = √9 × √3 = 3 √3

● √99

Jawab: √99 = √9 × √11 = 3 √11

● √50

Jawab: √50 = √25 × √2 = 5 √2

● √96

Jawab: √96 = √16 × √6 = 4 √3

● 4 √44

Jawab: 4 √44 = 4 × √4 × √11 = 4 × 2 × √11 = 8 √11

● 2 √500

Jawab: 2 √500 = 2 × √5 × √100= 2 × 18 × √5 = 20 √5

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

1. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Untuk setiap a, b dan c bilangan rasional positif, maka berlaku rumus atau persamaan berikut:

Rumus operasi penjumlahan bentuk akar

Rumus operasi pengurangan bentuk akar

Contoh Soal Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ini:

● 3 √7 + 5 √7 − √7

Jawab: 3 √7 + 5 √7 − √7 = (3 + 5 −1) √7 = 7 √7

● 5 √2 − 2 √8 + 4 √18

Jawab:

⇒ 5 √2 − 2 √8 + 4 √18

⇒ 5 √2 − 2 (√4 × √2) + 4 (√9 × √2)

⇒ 5 √2 − 2 (2 × √2) + 4 (3 × √2)

⇒ 5 √2 − 4 √2) + 12 √2

⇒ (5 − 4 + 12) √2

⇒ 13 √2

2. Operasi Perkalian Bentuk Akar

Untuk setiap a, b dan c bilangan rasional positif, maka berlaku rumus atau persamaan berikut:

Contoh:

■ √4 × √8  = √4 × 8

⇒ √32

⇒ √16 × 2

⇒ 4 √2

■ √4 (4 √4 − √2) = (√4 × 4 √4) − (√4 × √2)

⇒ (4 × √16) − √8

⇒ (4  × 4) − (√4 × √2)

⇒ 16 − 2 √2

Contoh Soal Operasi Perkalian Bentuk Akar

Sederhanakanlah bentuk-bentuk di bawah ini!

●  (√7 − √5) (√7 + √5)

Jawab: Apabila angka yang dikalikan sama, hanya berbeda operasi plus (+) dan minus (-), maka kita gunakan rumus depan kali depan, belakang kali belakang  yaitu sebagai berikut.

(a + b) (a − b) = a2 − b2

Sehingga:

(√7 − √5) (√7 + √5) = (√7 × √7) + (−√5 × √5)

⇒ √49 − √25

⇒ 7 − 5

⇒ 12

● (√3 − √2)2

Jawab: Kita gunakan rumus sebagai berikut.

(a − b) (a − b) = a2 − 2ab + b2

Sehingga:

(√3 − √2)2 = (√3 − √2) (√3 − √2)

⇒ (√3 × √3) + (√3 × − √2) + (−√2 × √3) + {−√2 × (−√2)}

⇒ √9 − √6 − √6 − √4

⇒ 3 − 2 √6 + 2

⇒ 5 − 2 √6

● 3 √3 × 5 √3 × 2 √3

Jawab: Kita gunakan rumus sebagai berikut.

a √b × c √b × d √b = (a × c × d) (√b × √b × √b) = (a × c × d × b) √b

Sehingga:

⇒ 3 √3 × 5 √3 × 2 √3 = (3 × 5 × 2 × 3) √3 = 90 √3