Logaritma: Definisi, Notasi, Jenis, Sifat, Contoh Soal dan Pembahasan

Pengertian Logaritma

Kata “Logaritma” berasal dari bahasa Yunani yaitu Logos yang artinya berpangkat dan Aritmhos yang artinya bilangan. Logaritma ditemukan kurang lebih pada abad ke-17 oleh John Napier  dari Skotlandia dalam bukunya yang berjudul Minifici Logarithmorum Canonis Descriptio.

Logaritma adalah invers atau kebalikan dari pemangkatan. Logaritma digunakan untuk menentukan besar pangkat dari suatu bilangan pokok. Penggunaan konsep logaritma tidak hanya dalam bidang matematika saja tetapi juga di bidang lain, misalnya dalam bidang kimia seperti menentukan orde reaksi pada laju reaksi kimia. Dalam bidang seni musik seperti menentukan koefisien serap bunyi dan sebagainya.

Notasi Logaritma

Misalkan b adalah bilangan positif (b > 0) dan a adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (0 < a < 1 atau  a > 1), maka notasi logaritma dituliskan sebagai berikut:

alog b = x jika dan hanya jika ax = b

Keterangan:

■ a disebut bilangan pokok atau basis logaritma, dengan syarat 0 < a < 1 atau a > 1 (a > 0 dan a ≠ 1).

adsJika a = 10, bilangan pokok ini biasanya tidak di tuliskan. Jadi, 10log 3 cukup ditulis log 3.

■ b disebut numerus, yaitu bilangan yang akan dicari nilai logaritmanya, dengan ketentuan b > 0

■ x disebut hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol atau bahkan negatif.

■ Bentuk ax = b dan x = alog b merupakan dua pernyataan yang ekuivalen (setara). ax = b disebut bentuk eksponensial dan x = alog b disebutbentuk logaritmik dalam hubungan tersebut.

Jenis-Jenis Logaritma

Logaritma dibedakan menjadi dua yaitu

1. logaritma biasa

Logaritma biasa atau biasa disebut logaritma saja adalah bentuk logaritma yang sudah dibahas sebelumnya yaitu bentuk alog b = x dengan a adalah bilangan basisnya dimana 0 < a < 1 atau a > 1 (a > 0 dan a ≠ 1)

2. logaritma natural

Logaritma natural adalah bentuk logaritma dengan bilangan basisnya adalah e yaitu sebuah konstanta yang disebut sebagai konstanta Euler. Konstantan Euler ini merupakan bilangan irasional layaknya konstanta pi (π). Besarnya konstanta Euler adalah sebagai berikut:

e = 2,718281828459…

karena bilangan basisnya adalah e maka logaritma natural ditulis elog b = ln b. bentuk ln b (dibaca: logaritma natural dari b) merupakan bentuk umum dari logaritma natural.

Sifat Pokok Logaritma

Notasi logaritma di atas menunjukkan bahwa bilangan dalam bentuk pangkat dapat diubah ke bentuk logaritma dan sebaliknya. Sebagai akibat dari definisi dan notasi logaritma maka dapat ditunjukkan berlakunya sifat-sifat pokok logaritma sebagai berikut:

1	alog an = n
2	alog a = 1
3	alog 1 = 0

Pembuktian ketiga sifat di atas adalah sebagai berikut:

1. alog an = n → an = an

2. alog a = 1 → a1 = a

3. alog 1 = 0 → a0 = 1

Contoh Soal Logaritma dan Pembahasannya

1. Nyatakan tiap bentuk eksponen berikut ini dengan menggunakan notasi logaritma

a) 52 = 25

b) 30 = 1

c) 60 = 1

d) 6-2 = 1/36

Jawab

a) 52 = 25 ↔ 5log 25 = 2

b) 30 = 1 ↔ 3log 1 = 0

c) 60 = 1 ↔ 6log 1 = 0

d) 6-2 = 1/36 ↔ 6log (1/36) = -2

2. Nyatakan tiap bentuk logaritma berikut ini menggunakan notasi eksponen.

a) 5log 625 = 4

b) 2log √2 = ½

c) 7log 1 = 0

d) 2log (1/8) = -3

Jawab

a) 5log 625 = 4 ↔ 54 = 625

b) 2log √2 = ½ ↔ 2½ = √2

c) 7log 1 = 0 ↔ 70 = 1

d) 2log (1/8) = -3 ↔ 2-3 = 1/8

3. Hitunglah tiap nilai logaritma di bawah ini

a) 7log 49

b) 1/3log 3

c) √2log 4

d) 2log 2√2

Jawab

a) 7log 49 = 2, karena 72 = 49

b) 1/3log 3 = -1, karena (1/3)-1 = 3

c) √2log 4 = 4, karena (√2)4 = 4

d) 2log 2√2 = 3/2, karena (2)3/2 = 2√2 

4. Selesaikan soal di bawah ini.

a) Jika xlog 5 = 0,7, tunjukkan bahwa x = 5 7√(5)3

b) Jika alog 3 = -0,3, tunjukkan bahwa a = 1/81 3√9

c) Jika ½log (3a − √2) = -½, tunjukkan bahwa a = 2/3 √2

Jawab

a) xlog 5 = 0,7 maka

⇒ x0,7 = 5

⇒ x7/10 = 5

⇒ (x7/10)10/7 = (5)10/7

⇒ x =  5 × 53/7

⇒ x = 5 7√(5)3

b) alog 3 = -0,3 maka

⇒ a-0,3 = 3

⇒ a-3/10 = 3

⇒ (a-3/10)-10/3 = (3)-10/3

⇒ a =  3-12/3 × 32/3

⇒ a = 1/(3)12/3 × 32/3

⇒ a = 1/34 × 32/3

⇒ a = 1/81 × 3√32

⇒ a = 1/81 3√9

c) ½log (3a − √2) = -½ maka

⇒ ½-½ =  3a − √2

⇒ 1/√½ = 3a − √2

⇒ √2/√1 = 3a − √2

⇒ √2 = 3a − √2

⇒ √2 + √2 = 3a

⇒ 2 √2 = 3a

⇒ a = 2/3 √2